El número de Dios. Brevísima historia de la proporción áurea

El siguiente es un ensayo corregido y aumentado que presenté hace tiempo como ponencia en la clase de Fundamentos de las Matemáticas dentro de la carrera en Filosofía. Decidí publicarlo, primero que nada, porque desde mi punto de vista las matemáticas son el ejemplo de la belleza reducida en una ecuación. A través de las matemáticas somos capaces de describir fenómenos impresionantes del Cosmos, y todo desde una hoja de papel. Debo admitir, sin embargo, que aunque soy consciente de la importancia de las matemáticas y sus implicaciones tanto estéticas como epistemológicas, estas nunca han sido mi fuerte, quizás por eso este escrito es bastante escueto en cuanto a cálculos se refiere. Estoy muy seguro que para un matemático verdadero este ensayo divulgativo y ridículamente introductorio le parecerá escrito por un niño de secundaria. En fin, ¿qué se me va hacer?

Cabe señalar que en la última parte del ensayo, dedicado a responder a la pregunta de si phi es prueba de la existencia de Dios, la argumentación es bastante escueta, pues el tema de Dios y las matemáticas no eran el punto central, y viene a verse en este escrito solamente como un dato curioso en el que, en esta ocasión, no profundicé. 

Bueno, esperando lo disfruten, les dejo la brevísima y escueta historia del número áureo, el número de oro, el número de Dios: Phi, una maravilla numérica.

¿Qué tienen en común las semillas de un girasol, una tarjeta de crédito, el Partenón, una concha de nautilo y la Mona Lisa? La respuesta es 1.618033… phi o también conocido como el numero áureo.

 Del mismo modo en que Pi representa el cuerpo geométrico más perfecto (la esfera), phi es el número de la belleza. El número áureo pertenece al conjunto de los números irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros.

Entre la historia, el arte y lo divino

 En el siglo XV el monje Luca Pacioli, influido por la idea de que todo nuevo conocimiento debía adaptarse con las creencias de la iglesia, lo llamó “la divina proporción” dando un porqué. De acuerdo a él, phi “tiene una correspondencia con la santísima trinidad; es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o menos”.

Se cuenta que fue Leonardo da Vinci quien bautizaría a este número como “el número áureo”. Influido por el humanista Leon Battista y el escultor Antonio Filarete, Leonardo creía que la anatomía y la arquitectura estaban relacionadas. Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando profundizó en esta relación que expresó en su famoso dibujo “El Hombre de Vitruvio” en 1487, basado en la descripción del arquitecto Marcus Vitruvius Pollio, en la que afirma:

“En el cuerpo humano, la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se acuesta boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse en una figura cuadrada”. Esto es, si dividimos el lado del cuadrado (la altura del ser humano) por el radio de la circunferencia (o sea, la distancia del ombligo a la punta de los dedos) tendremos como resultado el número áureo.

Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas que relacionaran no solo la anatomía con la arquitectura, sino con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. La búsqueda de da Vinci por encontrar las proporciones en el mundo que lo rodeaba, al igual que su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los arboles con la longitud de sus ramas, fue intensa pero vana.

Algunos siglos antes de da Vinci, en 1202, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Leonardo Fibonacci, publicaría su Liber Abacci, donde explicaba cómo sumar, restar, multiplicar y dividir con el sistema decimal. En su obra, que buscaba presentarse solamente como un problema planteado para que sus lectores aprendieran a usar el sistema decimal, aparecería una sucesión numérica que parece más la consecuencia de reflexiones profundas sobre aritmética.

En Liber Abacci, Fibonacci se preguntaba cuán rápido se expandirían los conejos por la Tierra en condiciones ideales. Así, Fibonacci planteó el problema más o menos de la siguiente manera:

 Supongamos que tenemos una única pareja de conejos, que ambos miembros están preparados para procrear al mes de existencia y que dan a luz a una nueva pareja tres un mes de gestación.

¿Cuántas parejas de conejos habrá al cabo de un año? Al final del primer mes la pareja original está dispuesta a procrear, pero sigue habiendo una única pareja. Al final del segundo mes tendremos la pareja original y su primera pareja-hija. Al finalizar el tercero habrá en el campo original, la primera pareja, que ya está a punto para procrear, y una segunda pareja-hija. Al terminar el cuarto mes tendremos la original y su primera pareja-hija, y la segunda pareja-hija, que ya está lista para procrear. La sucesión de parejas de conejos entonces es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, 233... Esta sucesión de conejos, mas tarde conocida como el código de Fibonacci o números de Fibonacci, es obtenida de la suma de los dos números previos para obtener el número siguiente. ¿Pero que tienen que ver los números de Fibonacci con el número áureo?

Para entender esta relación, hace falta explicar qué es en sí el número phi. Phi, el número áureo, se entiende como aquél que si le sumamos uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Por ejemplo, si tomamos la raíz cuadrada de 5, luego le sumamos 1 al resultado y el total lo dividimos entre 2, resultará el número áureo.

Con este conocimiento, en el año 2,000 y con menos de 3 horas de computar ecuaciones, se encontraron los primeros 1,500 millones de cifras decimales, alcanzando de este modo el récord mundial del mayor número de decimales calculados (récord actualmente superado en cálculos decimales sobre pi).

Pero volviendo a la pregunta anterior, ¿qué tienen que ver los números de Fibonacci con el número phi? Resulta ser que si se toma uno de los números de Fibonacci (cualquiera de la sucesión) y se divide ese número por su inmediato anterior, a medida que se progrese en la sucesión, el cociente se irá acercando mas y mas al número áureo.

En términos matemáticos, esto quiere decir que la sucesión de números creada dividendo un número de Fibonacci por su inmediato anterior tiende, o tiene como límite, el número áureo. Esto quiere decir que la sucesión de números “termina” en el infinito.

Naturaleza y matemáticas

Así cómo es posible encontrarnos con phi en obras de arte y casos idealizados como los conejos de Fibonacci, también podemos encontrar ejemplos de este número presente en la naturaleza misma.

Un ejemplo que suele encantar a los divulgadores científicos es el del árbol genealógico de un zángano de un panal. Los zánganos nacen del huevo no fertilizado de la reina, luego tiene una madre, pero no tienen padre. Por el contrario, tanto la reina como los obreros nacen de huevo, fertilizados por un macho. Tienen, por tanto, padre y madre. Una vez aclarado esto, se tiene en mente que el árbol genealógico de un zángano queda de la siguiente forma: tiene 1 madre, 2 abuelos (macho y hembra), 3 bisabuelos (dos de la familia de la abuela y uno de la del abuelo), 5 tatarabuelos, 8 tatatarabuelos y así sucesivamente. Si lo notamos, la secuencia del árbol genealógico de un zángano es 1, 1, 2, 3, 5, 8… es decir, la sucesión de Fibonacci.

Los números de Fibonacci también los encontramos en el número de espirales a la izquierda de los girasoles y en las piñas de los pinos; en el número de pétalos de las flores (3 el iris; 5 u 8 en ángulos ranúnculos; las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 u 85), y en el número de flores en las espirales de la coliflor y el brócoli (de hecho, cada una de ellas es una diminuta coliflor en sí). Así mismo, es posible encontrar los números de Fibonacci en el plátano y las manzanas. Incluso las hojas alrededor del tallo siguen este orden.

Si miráramos desde arriba a la molécula del ADN notaríamos que esta se parece a un polígono de diez lados formado, en esencia, por dos pentágonos superpuestos, a uno de los cuales se ha hecho girar 36º. La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número phi.

Pero tal vez no existe ejemplo más representativo de la proporción áurea que la concha de un nautilo, la cual no es más que la resultante de una espiral logarítmica que puede trazarse con un lápiz y un compás  En este ejemplo, los números son convertidos en figuras geométricas (cuadrados). Primero, se colocan dos cuadrados iguales juntos, de cualquier tamaño, cuyos lados serán tomados como unidad. Encima de ellos, se dibuja un tercer cuadrado cuyo lado sea el doble de los anteriores. A la derecha, se añade otro más, con el triple de lado. Debajo, el correspondiente al número 5 de los números de Fibonacci, y así sucesivamente, de modo que cada nuevo cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores. Después, se dibuja un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado (empezando por el primero), y de esta forma se obtiene una espiral logarítmica que es, justamente, lo que presenta la concha de un nautilo.

Los ejemplos pueden seguir encontrándose en el sistema solar, en una galaxia o en el propio rostro humano, tal y como da Vinci lo decía.

¿Prueba de Dios?

El número áureo ha sorprendido y maravillado tanto a místicos como a matemáticos por

igual. Las sucesiones de Fibonacci y su resultante tendencia al número phi, hacen que este tema parezca más un asunto de numerología y no de matemáticas. Sin embargo, es fácil demostrar su presencia en las proporciones del universo mismo.

Esto hizo que muchos, tal como era de esperar, supusieran que el Cosmos tenía un orden matemático complejo, solo posible gracias a una mente creadora. Esta mente creadora no podía ser otra que la de Dios. En la tradición filosófica abundan los ejemplos de grandes pensadores que creían justamente en la trascendencia mística de los números y el universo: Pitágoras, Aristóteles, Nicolás de Cusa, Galileo Galilei, Johannes Kepler, Wilhelm Leibniz, Isaac Newton... Incluso en el siglo XX encontramos a grandes pensadores de la talla de Einstein con un sentimiento casi religioso con respecto al Cosmos.

¿Pero son las matemáticas, y más en específico, el número áureo una prueba de la existencia de un diseñador inteligente del universo conocido? Los apologistas y teólogos modernos afirman que sí (tal y como siempre han hecho los hombres de fe), basándose en que los extraordinarios ejemplos del número áureo en la naturaleza no pueden ser explicados sino es “a la luz” de un diseño consciente.

Lo cierto es que hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo, pero no necesariamente porque un “alguien” no se le ocurrió otra forma de ordenarlos, sino porque este orden es el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca. Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz solar sin que unas se oculten a otras y, en el caso de las flores, la mejor exposición para atraer a los insectos polinizadores.

De modo que el número áureo en la naturaleza parece ser más una consecuencia de la teleonomía y no de la teleología, como a muchos les gusta pensar.

Encontrar orden matemático en un universo de aparente belleza caótica es sorprendente, pero no es una prueba de algún diseñador inteligente.

SI TE INTERESA ESTE TEMA 

*The Golden section ratio: Phi, enlace del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Surrey

*El sitio The Golden Number posee información divulgativa pero detallada sobre la proporción áurea. En este sitio se asegura que phi es una prueba de Dios.