El siguiente es un ensayo corregido y aumentado que presenté hace tiempo como ponencia en la clase de Fundamentos de las Matemáticas dentro de la carrera en Filosofía. Decidí publicarlo, primero que nada, porque desde mi punto de vista las matemáticas son el ejemplo de la belleza reducida en una ecuación. A través de las matemáticas somos capaces de describir fenómenos impresionantes del Cosmos, y todo desde una hoja de papel. Debo admitir, sin embargo, que aunque soy consciente de la importancia de las matemáticas y sus implicaciones tanto estéticas como epistemológicas, estas nunca han sido mi fuerte, quizás por eso este escrito es bastante escueto en cuanto a cálculos se refiere. Estoy muy seguro que para un matemático verdadero este ensayo divulgativo y ridículamente introductorio le parecerá escrito por un niño de secundaria. En fin, ¿qué se me va hacer?
Cabe señalar que en la última parte del ensayo, dedicado a responder a la pregunta de si phi es prueba de la existencia de Dios, la argumentación es bastante escueta, pues el tema de Dios y las matemáticas no eran el punto central, y viene a verse en este escrito solamente como un dato curioso en el que, en esta ocasión, no profundicé.
Bueno, esperando lo disfruten, les dejo la brevísima y escueta historia del número áureo, el número de oro, el número de Dios: Phi, una maravilla numérica.
¿Qué tienen en común las semillas de un girasol, una
tarjeta de crédito, el Partenón, una concha de nautilo y la Mona Lisa? La
respuesta es 1.618033… phi o también conocido como el numero áureo.
Del mismo modo en
que Pi representa el cuerpo geométrico más perfecto (la esfera), phi es el
número de la belleza. El número áureo pertenece al conjunto de los números irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos
números enteros.
Entre
la historia, el arte y lo divino
En el siglo XV el
monje Luca Pacioli, influido por la idea de que todo nuevo conocimiento debía
adaptarse con las creencias de la iglesia, lo llamó “la divina proporción” dando un porqué. De acuerdo a él, phi “tiene una correspondencia con la santísima
trinidad; es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas, de
igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y
nunca de más o menos”.
Se cuenta que fue Leonardo da Vinci quien bautizaría a
este número como “el número áureo”. Influido por el humanista Leon Battista y
el escultor Antonio Filarete, Leonardo creía que la anatomía y la arquitectura
estaban relacionadas. Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al
duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando profundizó en esta
relación que expresó en su famoso dibujo “El Hombre de Vitruvio” en 1487,
basado en la descripción del arquitecto Marcus Vitruvius Pollio, en la que
afirma:
“En
el cuerpo humano, la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se acuesta
boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de
compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la
circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse en
una figura cuadrada”. Esto es, si dividimos el lado del cuadrado
(la altura del ser humano) por el radio de la circunferencia (o sea, la
distancia del ombligo a la punta de los dedos) tendremos como resultado el
número áureo.
Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas
que relacionaran no solo la anatomía con la arquitectura, sino con la
estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. La búsqueda de da
Vinci por encontrar las proporciones en el mundo que lo rodeaba, al igual que
su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los arboles con la
longitud de sus ramas, fue intensa pero vana.
Algunos siglos antes de da Vinci, en 1202, Leonardo de
Pisa, mejor conocido como Leonardo Fibonacci, publicaría su Liber Abacci, donde explicaba cómo
sumar, restar, multiplicar y dividir con el sistema decimal. En su obra, que
buscaba presentarse solamente como un problema planteado para que sus lectores
aprendieran a usar el sistema decimal, aparecería una sucesión numérica que
parece más la consecuencia de reflexiones profundas sobre aritmética.
En Liber Abacci,
Fibonacci se preguntaba cuán rápido se expandirían los conejos por la Tierra en
condiciones ideales. Así, Fibonacci planteó el problema más o menos de la
siguiente manera:
Supongamos que tenemos una única pareja de conejos, que ambos
miembros están preparados para procrear al mes de existencia y que dan a luz a
una nueva pareja tres un mes de gestación.
¿Cuántas parejas de conejos habrá al cabo de un año? Al
final del primer mes la pareja original está dispuesta a procrear, pero sigue
habiendo una única pareja. Al final del segundo mes tendremos la pareja
original y su primera pareja-hija. Al finalizar el tercero habrá en el campo
original, la primera pareja, que ya está a punto para procrear, y una segunda
pareja-hija. Al terminar el cuarto mes tendremos la original y su primera
pareja-hija, y la segunda pareja-hija, que ya está lista para procrear. La
sucesión de parejas de conejos entonces es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89,144, 233... Esta sucesión de conejos, mas tarde conocida como el código de
Fibonacci o números de Fibonacci, es obtenida de la suma de los dos números
previos para obtener el número siguiente. ¿Pero que tienen que ver los números
de Fibonacci con el número áureo?
Para entender esta relación, hace falta explicar qué es
en sí el número phi. Phi, el número áureo, se entiende como aquél que si le sumamos
uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Por ejemplo, si
tomamos la raíz cuadrada de 5, luego le sumamos 1 al resultado y el total lo
dividimos entre 2, resultará el número áureo.
Con este conocimiento, en el año 2,000 y con menos de 3
horas de computar ecuaciones, se encontraron los primeros 1,500 millones de
cifras decimales, alcanzando de este modo el récord mundial del mayor número de
decimales calculados (récord actualmente superado en cálculos decimales sobre pi).
Pero volviendo a la pregunta anterior, ¿qué tienen que
ver los números de Fibonacci con el número phi? Resulta ser que si se toma uno
de los números de Fibonacci (cualquiera de la sucesión) y se divide ese número
por su inmediato anterior, a medida que se progrese en la sucesión, el cociente
se irá acercando mas y mas al número áureo.
En términos matemáticos, esto quiere decir que la sucesión
de números creada dividendo un número de Fibonacci por su inmediato anterior
tiende, o tiene como límite, el número áureo. Esto quiere decir que la sucesión
de números “termina” en el infinito.
Naturaleza
y matemáticas
Así cómo es posible encontrarnos con phi en obras de arte
y casos idealizados como los conejos de Fibonacci, también podemos encontrar
ejemplos de este número presente en la naturaleza misma.
Un ejemplo que suele encantar a los divulgadores
científicos es el del árbol genealógico de un zángano de un panal. Los zánganos
nacen del huevo no fertilizado de la reina, luego tiene una madre, pero no
tienen padre. Por el contrario, tanto la reina como los obreros nacen de huevo,
fertilizados por un macho. Tienen, por tanto, padre y madre. Una vez aclarado
esto, se tiene en mente que el árbol genealógico de un zángano queda de la
siguiente forma: tiene 1 madre, 2 abuelos (macho y hembra), 3 bisabuelos (dos
de la familia de la abuela y uno de la del abuelo), 5 tatarabuelos, 8
tatatarabuelos y así sucesivamente. Si lo notamos, la secuencia del árbol
genealógico de un zángano es 1, 1, 2, 3, 5, 8… es decir, la sucesión de
Fibonacci.
Los números de Fibonacci también los encontramos en el
número de espirales a la izquierda de los girasoles y en las piñas de los
pinos; en el número de pétalos de las flores (3 el iris; 5 u 8 en ángulos
ranúnculos; las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 u 85),
y en el número de flores en las espirales de la coliflor y el brócoli (de
hecho, cada una de ellas es una diminuta coliflor en sí). Así mismo, es posible
encontrar los números de Fibonacci en el plátano y las manzanas. Incluso las
hojas alrededor del tallo siguen este orden.
Si miráramos desde arriba a la molécula del ADN
notaríamos que esta se parece a un polígono de diez lados formado, en esencia,
por dos pentágonos superpuestos, a uno de los cuales se ha hecho girar 36º. La
relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número phi.
Pero tal vez no existe ejemplo más representativo de la
proporción áurea que la concha de un nautilo, la cual no es más que la
resultante de una espiral logarítmica que puede trazarse con un lápiz y un compás En este ejemplo, los números son convertidos en figuras geométricas
(cuadrados). Primero, se colocan dos cuadrados iguales juntos, de cualquier
tamaño, cuyos lados serán tomados como unidad. Encima de ellos, se dibuja un
tercer cuadrado cuyo lado sea el doble de los anteriores. A la derecha, se
añade otro más, con el triple de lado. Debajo, el correspondiente al número 5
de los números de Fibonacci, y así sucesivamente, de modo que cada nuevo
cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores. Después, se
dibuja un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado (empezando por el
primero), y de esta forma se obtiene una espiral logarítmica que es,
justamente, lo que presenta la concha de un nautilo.
Los ejemplos pueden seguir encontrándose en el sistema solar, en una galaxia o
en el propio rostro humano, tal y como da Vinci lo decía.
¿Prueba
de Dios?
El número áureo ha sorprendido y maravillado tanto a
místicos como a matemáticos por
Esto hizo que muchos, tal como era de esperar, supusieran
que el Cosmos tenía un orden matemático complejo, solo posible gracias a una
mente creadora. Esta mente creadora no podía ser otra que la de Dios. En la
tradición filosófica abundan los ejemplos de grandes pensadores que creían
justamente en la trascendencia mística de los números y el universo: Pitágoras,
Aristóteles, Nicolás de Cusa, Galileo Galilei, Johannes Kepler, Wilhelm
Leibniz, Isaac Newton... Incluso en el siglo XX encontramos a grandes
pensadores de la talla de Einstein con un sentimiento casi religioso con
respecto al Cosmos.
¿Pero son las matemáticas, y más en específico, el número
áureo una prueba de la existencia de un diseñador inteligente del universo
conocido? Los apologistas y teólogos modernos afirman que sí (tal y como
siempre han hecho los hombres de fe), basándose en que los extraordinarios
ejemplos del número áureo en la naturaleza no pueden ser explicados sino es “a
la luz” de un diseño consciente.
Lo cierto es que hojas, pétalos y semillas se ordenan en
las plantas siguiendo un ángulo fijo, pero no necesariamente porque un
“alguien” no se le ocurrió otra forma de ordenarlos, sino porque este orden es
el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca. Si colocamos el
número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento
para que reciban todas ellas el máximo de luz solar sin que unas se oculten a
otras y, en el caso de las flores, la mejor exposición para atraer a los
insectos polinizadores.
De modo que el número áureo en la naturaleza parece ser
más una consecuencia de la teleonomía y no de la teleología, como a muchos les
gusta pensar.
Encontrar orden matemático en un universo de aparente
belleza caótica es sorprendente, pero no es una prueba de algún diseñador
inteligente.
SI TE INTERESA ESTE TEMA
*The Golden section ratio: Phi, enlace del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Surrey
*El sitio The Golden Number posee información divulgativa pero detallada sobre la proporción áurea. En este sitio se asegura que phi es una prueba de Dios.
